Родился 25 марта 1919 года. В детском возрасте вместе с родителями переезжает на постоянное место жительства в пос. Талица Свердловской области. Учился в Талицкой средней школе, затем с 1937 года — в Политехническом институте в Свердловске (ныне Екатеринбург).
В июле 1941 года Н. А. Аникин вступил в армию. Окончив Смоленское артиллерийское училище, получил звание лейтенанта. В июле 1942 года он участвовал в боях на правом берегу реки Дон, командуя артиллерийской батареей, за что был награждён орденом Боевого Красного Знамени. В октябре 1942 года назначен начальником штаба отдельного артиллерийского дивизиона. Участвовал в обороне Сталинграда в составе 62-й армии. В боях на Курской дуге принял командование дивизионом.
Николай Александрович Аникин особо отличился при форсировании Днепра. 29 сентября 1943 года первым под сильным обстрелом противника переправился на остров Молдован и оттуда управлял огнём дивизиона. Огневые средства противника были подавлены, подразделения полка успешно форсировали реку и закрепились на плацдарме.
4 октября первый дивизион Н.А. Аникина побатарейно приступил к форсированию Днепра. Переправился успешно и сразу вступил в бой, выбив противника из деревни. 14 октября немецкие войска предприняли новую попытку наступления, Н.А. Аникин лично занял место выбывшего из строя наводчика первого орудия и подбил несколько танков. Части гвардейской дивизии удержали важный плацдарм.
22 февраля 1944 года Н. А. Аникину было присвоено звание Героя Советского Союза. Был тяжело ранен в боях Ясско-Кишиневской операции.
После окончания войны Н. А. Аникин жил в Свердловске, затем — в Москве и занимался научной работой, получил степень кандидата экономических наук.
Умер в 1977 году. Похоронен на Николо-Архангельском кладбище Москвы.
